Il fisico

Alberto Maggi era studente di Fisica all’Università di Pisa. Tra il 2000 e il 2002, negli anni del corso di laurea, ha prodotto un insieme di lavori scritti — dispense, note critiche, raccolte di esercizi — che vanno ben oltre la normale attività di uno studente. Non arriverà a laurearsi: la laurea gli sarà conferita dall’Università di Pisa ad honorem, dopo la sua morte. Questi testi sono disponibili nella sezione Dispense di questo sito.

Quello che segue è un tentativo di presentare il senso di quel lavoro, e di raccontare attraverso di esso chi era Alberto come fisico.

Un’insofferenza produttiva

Nelle prefazioni dei suoi testi ricorre un motivo costante: l’insofferenza per le presentazioni standard. Non si tratta di arroganza — Alberto era consapevole dei propri limiti e li dichiarava — ma di un bisogno genuino di capire le cose fino in fondo, partendo dai fondamenti, senza dare nulla per scontato.

Nella prefazione agli appunti di Meccanica Statistica scrive che la presentazione istituzionale della disciplina gli era risultata «a tal punto insopportabile che ho deciso di andare a fondo al problema, per quanto mi era consentito dai vincoli del poco tempo a disposizione — in fin dei conti, nessuno mi chiederà mai queste cose, a nessun esame.» Nella prefazione agli appunti di Fisica Teorica richiama Landau e Lifšic — il canone della fisica teorica del Novecento — solo per dichiarare che la sua aspirazione era fare qualcosa di diverso: un testo matematicamente rigoroso.

Questa insofferenza era produttiva. Invece di accontentarsi, Alberto si metteva a studiare le fonti primarie — articoli, monografie, testi avanzati — e poi scriveva. Scrivere, per lui, era il modo di verificare di aver davvero capito.

La linearità delle trasformazioni di Lorentz (ottobre 2001)

Il più breve dei suoi lavori — sei pagine — è anche il più emblematico. Il titolo è Linearità delle trasformazioni di Lorentz.

La teoria della relatività ristretta si fonda su due assiomi: il principio di relatività di Einstein e la costanza della velocità della luce. Da questi si ricavano le trasformazioni di Lorentz, che descrivono come le coordinate spaziotemporali cambiano passando da un sistema di riferimento inerziale a un altro. Queste trasformazioni sono lineari — ma quasi nessun testo universitario dimostra perché devono esserlo. O si assume la linearità senza giustificarla, oppure la si ottiene aggiungendo ipotesi più forti (l’isotropia dello spazio, l’omogeneità del tempo) che non discendono direttamente dagli assiomi di Einstein.

Alberto trova insoddisfacente questa situazione e cerca la dimostrazione più economica possibile: quella che usa il minor numero di assunzioni aggiuntive. La trova in un articolo del 1972 di Borchers e Hegerfeldt, praticamente ignorato dalla didattica. La strategia è elegante: invece di lavorare direttamente sulla metrica dello spaziotempo, si dimostra che la trasformazione manda rette su rette — usando solo la conservazione del cono luce — e poi si applica il teorema fondamentale della geometria affine. Il risultato è rigoroso, economico, e illumina qualcosa che la presentazione standard lascia nell’ombra.

Ha 21 anni. Scrive in stile di articolo matematico, con abstract, assiomi numerati, lemmi e dimostrazioni. È un lavoro che nessuno gli ha chiesto.

I fondamenti della meccanica statistica (ottobre 2001)

Nello stesso mese scrive un saggio di 48 pagine sui fondamenti matematici della meccanica statistica, prendendo come punto di partenza il testo di A.I. Khinchin (Mathematical Foundations of Statistical Mechanics) e la dissertazione di Janneke van Lith sulla storia del problema ergodico.

La meccanica statistica descrive il comportamento di sistemi formati da un numero enorme di particelle — dell’ordine di 10²³ — collegando le grandezze microscopiche (le posizioni e le velocità delle singole molecole) alle grandezze macroscopiche misurabili (temperatura, pressione, entropia). Il metodo di Gibbs, che ancora oggi è alla base di questa disciplina, consiste nel calcolare medie su insiemi statistici nello spazio delle fasi. Ma perché questo funziona? In quali condizioni la media statistica coincide con il risultato di una misura sperimentale?

Questa è la domanda del problema ergodico, aperta da oltre un secolo. Alberto la affronta con rigore, seguendo la genealogia delle risposte: dall’ipotesi ergodica di Boltzmann — "palesemente falsa", scrive, citando un suo stesso giudizio — all’approccio di Khinchin basato sul teorema del limite centrale, fino alla soluzione di Malament, Zabell e Vranas che nel 1980-1998 riesce a giustificare il metodo di Gibbs senza richiedere l’ergodicità stretta.

Il punto critico che Alberto identifica con precisione — e che molti testi ignorano — è che la meccanica statistica funziona su sistemi chiaramente non ergodici. Quindi qualsiasi giustificazione basata sull’ergodicità è, nella migliore delle ipotesi, incompleta. La soluzione vera richiede un cambio di prospettiva: introdurre una distribuzione di probabilità che abbia un significato fisico reale, non un artificio matematico, e dimostrare che essa coincide con la misura di Gibbs sotto condizioni ragionevoli.

Chiude la prefazione con una nota personale insolita nei testi accademici: «Mi è bastato leggere la tesi di Janneke van Lith e il fatto che alcune dimostrazioni esistessero per soddisfare la mia famelica curiosità in merito alla questione dei fondamenti di una delle teorie che ritengo più prolifiche e belle dell’intera fisica.»

Metodi matematici delle teorie quantistiche (luglio 2002)

Tra il 2001 e il 2002, seguendo i corsi di Giovanni Morchio all’Università di Pisa, Alberto scrive quello che è probabilmente il lavoro più ambizioso del corpus: un trattato in due volumi, di 478 pagine complessive, sui fondamenti matematici della meccanica quantistica.

Il punto di partenza è una tesi precisa, articolata nella prefazione: per capire davvero la meccanica quantistica — non solo usarla come uno strumento di calcolo — serve costruire passo dopo passo l’intera architettura matematica su cui essa poggia. Il primo volume costruisce questa architettura: teoria della misura di Lebesgue, spazi di Hilbert, teoria degli operatori lineari, analisi complessa, analisi di Fourier e teoria delle distribuzioni. Il secondo la applica: teoria spettrale, autoaggiunzione degli operatori, esistenza della dinamica quantistica, e infine la formulazione algebrica della meccanica quantistica attraverso le C*-algebre.

Quest’ultimo punto meriterebbe una spiegazione a sé. La formulazione standard della meccanica quantistica — quella insegnata nei corsi universitari — associa a ogni sistema fisico uno spazio di Hilbert e agli stati del sistema vettori in quello spazio. Questo schema funziona perfettamente per sistemi con un numero finito di gradi di libertà. Per i sistemi infiniti — che sorgono inevitabilmente in meccanica statistica relativistica e in teoria quantistica dei campi — la situazione è radicalmente diversa: le rappresentazioni delle regole di commutazione canoniche non sono più tutte equivalenti, e la scelta della rappresentazione diventa essa stessa un problema fisico, non solo matematico. La formulazione in termini di C*-algebre è l’unica che riesce a trattare questo caso in modo corretto. Alberto la espone con completezza, inclusi la teoria di Gel’fand-Naimark, il teorema di unicità di von Neumann per i sistemi finiti, e la sua rottura nei sistemi infiniti.

Il secondo volume si chiude con il problema dell’interpretazione probabilistica della meccanica quantistica: il teorema di Gleason (che caratterizza le misure di probabilità sui reticoli di proiettori), il teorema di Bell-Kochen-Specker (che esclude le teorie a variabili nascoste non contestuali) e le disuguaglianze di Bell. È una delle poche esposizioni didattiche in cui questi risultati vengono presentati nell’ordine concettualmente corretto: prima cosa deve essere un’interpretazione probabilistica, poi cosa non può essere.

Un progetto

Rileggendo il corpus nel suo insieme, emerge una struttura. Non è una raccolta casuale di appunti: è un programma, condotto in modo sistematico nel corso di tre anni.

Dalla topologia degli spazi metrici alle C*-algebre. Dal problema dell’ergodicità al teorema di Bell. Dalla linearità delle trasformazioni di Lorentz alla meccanica quantistica dei sistemi infiniti. Ogni testo risolve un problema di fondamenti che la presentazione standard lasciava aperto o insoddisfacente.

La fisica teorica è una disciplina dove si impara a usare strumenti potenti per risolvere problemi difficili. Alberto era insolito perché non riusciva a fermarsi all’uso degli strumenti: voleva capire perché funzionavano, su quali basi poggiavano, dove i fondamenti erano solidi e dove invece nascondevano assunzioni implicite o giustificazioni circolari.

Era un modo di lavorare lento, esigente, non sempre remunerato in termini di crediti o esami. Era anche, probabilmente, il solo modo che gli sembrava onesto.